题目

已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆离心率是e=e=√2/2,经过抛物线x^2=4y的焦点.
若过点B（2,0)的直线L(斜率不等于零）与椭圆交于不同的两点E,F（E在B,F之间）试求△OBE与△OBF的面积之比的取值范围.

提问时间：2020-10-13

答案

已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆离心率是e=√2/2,经过抛物线x^2=4y的焦点.
解得 a=√2,b=1,c=1,
∴所求椭圆的方程为 x²／2+y²=1,
知l的斜率存在且不为零,
设l方程为y=k（x-2）（k≠0）=1
x²／2+y²=1,得
（2k²+1）x2-8k²•x+（8k²-2）=0,由△＞0得 0＜k²＜1／2．
设E（x1,y1）、F（x2,y2）,x1+x2=8k²／2k²+1,x1x2=8k²-2／2k²+1,
令 λ=S△OBES△OBF,
BE=λ•BF,λ=x1-2／x2-2,且0＜λ＜1．
(x1-2)+(x2-2)=-4／1+2k²,
(x1-2)•(x2-2)=x1x2-2(x1+x2)+4=2／1+2k²．
∴ λ／(1+λ)²=2k²+1／8,
k²=4λ(1+λ)²-1／2．
∵ 0＜k²＜1／2,∴ 0＜4λ／(1+λ)²-1／2＜1／2,
3-2√2＜λ＜3+2√2．
又∵0＜λ＜1,∴ 3-2√2＜λ＜1,
∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是（ 3-2√2,1）．