题目

已知函数f（x）=-x²+ax+b（a，b∈R）的值域为（-∞，0]，若关于x的不等式f（x）＞c-1的解集为（m-4，m+1），则实数c的值为 ___ ．

提问时间：2020-10-13

答案

∵函数f（x）=-x²+ax+b（a，b∈R）的值域为（-∞，0]，
∴△=0，
∴a²+4b=0，
∴b=-

a2

4

．
∵关于x的不等式f（x）＞c-1的解集为（m-4，m+1），
∴方程f（x）=c-1的两根分别为：m-4，m+1，
即方程：-x²+ax-

a2

4

=c-1两根分别为：m-4，m+1，
∵方程：-x²+ax-

a2

4

=c-1根为：
x=

a

2

±

1-c

，
∴两根之差为：2

1-c

=（m+1）-（m-4），
c=-

21

4

．
故答案为：-

21

4

．

本题可以利用一元二次不等式与方程的关系研究，得到方程的根与解集的关系，利用两根之差为定值，求出实数c的值，得到本题结论．

本题考点：二次函数的性质；一元二次不等式的解法．

考点点评：本题考查了一元二次不等式与方程的关系，本题难度不大，属于基础题．