题目

两个矩阵相乘的秩
练习题：设AB都是n阶非零矩阵,且AB=0,则AB的秩?答案是都小于n
解题过程中说因为AB=0,故秩(A)+秩(B)≤n,然后AB非零,故秩均大于等于1,
问题在于秩(A)+秩(B)≤n这一步不懂,秩(AB)=秩(A)+秩(B)?如果是,那么AB为零矩阵秩是0,而A和B都是非零矩阵故n不等于0,那应该是秩(A)+秩(B)＜n啊?非常困惑希望高手解答,
少了几个逗号看着比较麻烦，就是A和B都是非零矩阵，问下A×B的秩怎么求，

提问时间：2020-10-13

答案

定理：如果AB=0,则秩(A)+秩(B)≤n.
证明：将矩阵B的列向量记为Bi.∵AB=0,所∴ABi=0,
∴Bi为Ax=0的解.
∵Ax=0的基础解系含有n-秩(A)个线性无关的解,
∴秩(B)≤n-秩(A),
即秩(A)+秩(B)≤n.
PS：这个结论在证明或者选择填空中都经常用到,需要记住并应用~