题目

若f(x)在[a,b]上连续,a2),则在（x1,xn）内至少有一点u,使f（u）=[f(x1)+f(x2)+……f(xn)]/n,如何证明?

提问时间：2020-10-13

答案

f(x)在[a,b]上连续,则在[x1,xn]上连续,则在[x1,xn]上必能取得最大和最小值,M和m
设f(c)=M,f(d)=m 其中 c,d在x1,和x2之间(有可能在端点)
如果M=m,说明f(x)是常数函数,结论是显然的.
如果M≠m,则c≠d.
这里有）[f(x1)+f(x2)+……f(xn)]/n <= (M+M+...M)/n=M=f(c) (右边的每一个放大成M)
同样 [f(x1)+f(x2)+……f(xn)]/n >= m ,由于m,M不等,所以两个不等式等号不会同时成立
如果两个等号都不成立,由介值定理,存在p在c,d之间(这里可以不包含端点),c,d又在[x1,xn]之间.
x1如果有一个等号成立（这里不妨设第一个等号成立）
那么必有 f(x2)=M,而x1故命题成立