题目

函数奇偶性的问题,
设f(x)是定义在对称区间(-l,l)上的任何函数,证明：
(1)φ(x)=f(x)+f(-x)是偶函数,φ(x)=f(x)-f(-x)是奇函数,
(2)定义在区间(-l,l)上的任何函数可以表示为一个偶函数与一个奇函数的和.

提问时间：2020-10-12

答案

(1)φ(-x)=f(-x)+f(x)=φ(x),∴φ(x)=f(x)+f(-x)是偶函数
φ(-x)=f(-x)-f(x)=-φ(x),∴φ(x)=f(x)-f(-x)是奇函数
(2)奇函数：
(f(x)-f(-x))/2
偶函数：
(f(x)+f(-x))/2
两个函数之和：
(f(x)-f(-x))/2 + (f(x)+f(-x))/2 = f(x).
得证.