题目

已知集合A={x|-2≤x≤5}，集合B={x|p+1≤x≤2p-1}，若A∩B=B，求实数p的取值范围．

提问时间：2020-10-12

答案

根据题意，若A∩B=B，则B⊆A；
分情况讨论：①当p+1＞2p-1时，即p＜2时，B=∅，此时B⊆A，则A∩B=B，则p＜2时，符合题意；
②当p+1=2p-1时，即p=2时，B={x|3≤x≤3}={3}，此时B⊆A，则A∩B=B，则p=2时，符合题意；
③当p+1＜2p-1时，即p＞2时，B={x|p+1≤x≤2p-1}，
若B⊆A，则有

2p−1≤5 p+1≥−2

，解可得-3≤p≤3，
又由p＞2，
则当2＜p≤3时，符合题意；
综合可得，当p≤3时，A∩B=B成立．

根据题意，由集合的性质，可得若满足A∩B=B，则B⊆A，进而分：①p+1＞2p-1，②p+1=2p-1，③p+1＜2p-1，三种情况讨论，讨论时，先求出p的取值范围，进而可得B，讨论集合B与A的关系可得这种情况下p的取值范围，对三种情况下求得的p的范围求并集可得答案．

本题考点：集合关系中的参数取值问题．

考点点评：本题考查集合的包含关系的运用，涉及参数取值的问题，易错点为遗漏B=∅的情况．