题目

已知三角形ABC中,点A（3,0）,B(0,3),C(rcosα,rsinα)(r大于0）
（1）若r=1,且AC*BC(都是向量）=-1,求sin2α的值
（2）若r=3,且∠ABC=60°,求AC的长度

提问时间：2020-10-12

答案

(1)r=1时,AC=(cosα,sinα)-(3,0)=(cosα-3,sinα), BC=(cosα,sinα)-(0,3)=(cosα,sinα-3).所以 AC*BC=(cosα-3)cosα+sin(sinα-3)=1-3(cosα+sinα)=-1.从而 sinα+cosα=2/3. 两边平方得到：(cosα)^2+(sinα)^2+2sinαcosα=4/9,利用倍角公式即知：1+sin2α=4/9, 所以 sin2α=-5/9.
(2)r=3时,C点坐标为C(3cosα,3sinα),即C是半径为3,圆心为原点的圆上一点.注意到此时A,B也都是此圆上的一点,由角ABC=60度 以及 圆心角定理可知：
角AOC=2角ABC=120度,其中O为坐标原点(亦为此圆圆心).所以在三角形AOC中,OA=OC=3,角AOC=120度,由此容易算出 AC=3根号3.
注：更简便一点的方法可以这样：由于圆心在原点,半径为3的圆是三角形ABC的外接圆,所以 |AC|/sinABC=2R. (R为圆的半径,R=3).此时直接可以算出
|AC|=3根号3.