题目

求证三角形已知一个角和对边,其余两角如何取使得周长最大

提问时间：2020-10-12

答案

设△ABC,三边分别a,b,c,∠A和a边已知,则根据正弦定理：
b/sinB=c/sinC=a/sinA
要使周长a+b+c最大,只要b+c最大即可
b+c=(a/sinA)(sinB+sinC)
所以要使b+c最大,只要sinB+sinC最大即可
sinB+sinC
=2sin[(B+C)/2]cos[(B-C)/2]
=2sin[(π-A)/2]cos[(B-C)/2]
=2sin(π/2-A/2)cos[(B-C)/2]
=2cos(A/2)cos[(B-C)/2]
2cos(A/2)＞0且为定值,
所以要使sinB+sinC最大,只要cos[(B-C)/2]最大即可
cos[(B-C)/2]≤1,当(B-C)/2=0,即B=C时,cos[(B-C)/2]取得最大值1,
所以其余两角相等使得周长最大.