题目

已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1,(a>b>0)的离心率为√6/3,椭圆C上任何一点到椭圆的两个焦点的距离之和为6
（1）求椭圆C的方程.
（2）设直线l：y=kx-2与椭圆C交于A、B两点,点p(0,1),且︱PA︱=︱PB︱,求直线l的方程

提问时间：2020-10-12

答案

（1）2a=6,得a=3
e=c/a=√6/3=c/3
解得c=√6=√(a^2-b^2)=√(9-b^2)
b=√3
故椭圆方程为：
x^2/9+y^2/3=1
（2）将y=kx-2代入椭圆方程得
x^2+3(k^2x^2-4kx+4)-9=0
(3k^2+1)x^2-12kx+3=0 ①
设A(x1,kx1-2),B(x2,kx2-2)
依韦达定理得
x1+x2=12k/(3k^2+1) ②
x1x2=3/(3k^2+1)
︱PA︱=︱PB︱得
(x1-0)^2+(kx1-2-1)^2=(x2-0)^2+(kx2-2-1)^2
(x1-x2)*[(k^2+1)(x1+x2)-6k]=0
因直线y=kx-2不包括直线x=0,所以x1≠x2,故
(k^2+1)(x1+x2)-6k=0
12k(k^2+1)/(3k^2+1)=6k
解得k^2=1或k=0
而k=0时方程①变为x^2+3=0.无解.所以k=±1
直线l的方程为：
y=x-2或y=-x-2