题目

已知椭圆x^2/2+y^2=1的左焦点为F,O为坐标原点,设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A.B两点
求弦AB中点M的轨迹

提问时间：2020-10-12

答案

“点差法”是解决中点问题的常用方法.
椭圆方程化为 x²+2y²=2,左焦点F(-1,0)
设 A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,设 M(x,y),则 2x=x1+x2,2y=y1+y2,且
x1²+2y1²=2 （1）
x2²+2y2²=2 （2）
（2）-（1）得
(x2-x1)(x1+x2)+2(y2-y1)(y1+y2)=0
所以 AB的斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)=-(x1+x2)/[2(y1+y2)]=-x/(2y)
又M,F在AB上,所以 k=(y-0)/(x+1)=y/(x+1)
从而 y/(x+1)=-x/(2y)
x²+x+2y²=0
(x+1/2)²+2y²=1/4
(x+1/2)²/(1/4) +y²/(1/8)=1 （x≠-1)
这是一个中心为(-1/2,0) ,对称轴为x=-1/2,y=0,长轴为1的椭圆(除去左顶点).