题目
已知四面体P-ABC中,PA=PB=4,PC=2,AC=2
,PB⊥平面PAC,则四面体P-ABC外接球的体积为______.
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提问时间:2020-10-12
答案
∵PA=4,PC=2,AC=2
,
∴Rt△PAC中,PA2+PC2=20=AC2,可得AP⊥PC
又∵PB⊥平面PAC,PA、PC⊂平面PAC
∴PB⊥PA,PA⊥PC
以PA、PB、PC为长、宽、高,作长方体如图所示
则该长方体的外接球就是四面体P-ABC的外接球
∵长方体的对角线长为
=6
∴长方体外接球的直径2R=6,得R=3
因此,四面体P-ABC的外接球体积为V=
R3=36π
故答案为:36π
5 |
∴Rt△PAC中,PA2+PC2=20=AC2,可得AP⊥PC
又∵PB⊥平面PAC,PA、PC⊂平面PAC
∴PB⊥PA,PA⊥PC
以PA、PB、PC为长、宽、高,作长方体如图所示
则该长方体的外接球就是四面体P-ABC的外接球
∵长方体的对角线长为
42+42+22 |
∴长方体外接球的直径2R=6,得R=3
因此,四面体P-ABC的外接球体积为V=
4π |
3 |
故答案为:36π
由题意算出PA2+PC2=AC2,结合勾股定理的逆定理得AP⊥PC.由PB⊥平面PAC证出PB⊥PA,PA⊥PC,可得PA、PB、PC两两互相垂直.因此以PA、PB、PC为长、宽、高作长方体,该长方体的外接球就是四面体P-ABC的外接球,根据长方体对角线公式算出外接球的直径,从而可得所求外接球的体积.
直线与平面垂直的性质;球内接多面体.
本题给出三棱锥P-ABC满足的条件,求它的外接球体积.着重考查了勾股定理、长方体的对角线公式和球的体积计算等知识,属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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