题目

如图,在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中,∠ABC=60o,PA=AC=a,PB=PD=√2a,点E在PD上,且PE：ED＝2：1
在棱PC上是否存在一点F,使BF‖平面AEC?证明结论——————如何用补全四棱柱的方法证明?

提问时间：2020-10-12

答案

存在,F为PC的中点.
因为,∠ABC=60°,ABCD是菱形
所以,AB=BC=CD=AD=a=PA 又因为PB=PD=√2a
所以,△PAB 、△PAD为直角三角形
所以,PA⊥AB、PA⊥AD
所以,PA⊥平面ABCD
补全四棱柱ABCD-PB'C'D',AE交DD'于G,取PC交BD'于K,AC中点H,所以GH属于平面AEC
因为PE:ED=2=PA:DG
所以G为DD'中点
在△BDD'中,H为BD中点
所以HG//BD'
所以BK//HG
又因为CK交平面ACE与点C且CK不属于平面ACE,所以K不属于平面ACE
综上所述,BK平行于平面ACE上的直线HG,且BK不在平面ACE上,
得出结论：BK//平面ACE
所以存在F,使BF//平面AEC,F即为K点所在位置