题目

证明：如果数列收敛,则它的极限是唯一聚点.

提问时间：2020-10-12

答案

设a,b是数列{an}的两个聚点,a对£=(b-a)/2>0,存在N1,当n>N1时,有:
an-a<£.因为b是聚点,故b的£邻域内必定有数列an的无穷多个点.由于N1是有限值,因此,b的£邻域必然存在am,m>N1.于是:
am-a<£,-£amam>b-£=(b+a)/2.矛盾.故聚点就是极限.