题目

已知函数f（x）=alnx-bx²图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=-3x+2ln2+2．
（1）求a，b的值；
（2）若方程f（x）+m=0在[

1

e

， e]内有两个不等实根，求m的取值范围（其中e为自然对数的底）．

提问时间：2020-10-12

答案

解（1）f′(x)=ax-2bx，f′(2)=a2-4b，f（2）=aln2-4b．∴a2-4b=-3，且aln2-4b=-6+2ln2+2．解得a=2，b=1．（2）f（x）=2lnx-x2，令h（x）=f（x）+m=2lnx-x2+m，则h′(x)=2x-2x=2(1-x2)x，令h'（x）=0，得x=1（x=-1舍...

（1）对函数f（x）进行求导，根据f'（2）=-3得到关于a、b的关系式，再将x=2代入切线方程得到f（2）的值从而求出答案．
（2）由（1）确定函数f（x）的解析式，进而表示出函数h（x）后对其求导，根据单调性与其极值点确定关系式得到答案．

本题考点：A:利用导数研究函数的单调性 B:导数的几何意义

考点点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．