题目
已知{an}是等比数列,a1=2,a3=18;{bn}是等差数列,b1=2,b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3>20.
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)求数列{bn}的前n项和Sn的公式;
(3)设Pn=b1+b4+b7+…+b3n-2,Qn=b10+b12+b14+…+b2n+8,其中n=1,2,…,试比较Pn与Qn的大小,并证明你的结论.
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)求数列{bn}的前n项和Sn的公式;
(3)设Pn=b1+b4+b7+…+b3n-2,Qn=b10+b12+b14+…+b2n+8,其中n=1,2,…,试比较Pn与Qn的大小,并证明你的结论.
提问时间:2020-10-12
答案
(1)设{an}的公比为q,由a3=a1q2得q2=
=9,q=±3.
当q=-3时,a1+a2+a3=2-6+18=14<20,
这与a1+a2+a3>20矛盾,故舍去.
当q=3时,a1+a2+a3=2+6+18=26>20,故符合题意.
设数列{bn}的公差为d,由b1+b2+b3+b4=26得4b1+
d=26.
又b1=2,解得d=3,所以bn=3n-1.
(2)Sn=
=
n2+
n.
(3)b1,b4,b7,b3n-2组成以3d为公差的等差数列,
所以Pn=nb1+
•3d=
n2-
n;
b10,b12,b14,b2n+8组成以2d为公差的等差数列,b10=29,
所以Qn=nb10+
•2d=3n2+26n.
Pn-Qn=(
n2-
n)-(3n2+26n)=
n(n-19).
所以,对于正整数n,当n≥20时,Pn>Qn;
当n=19时,Pn=Qn;
当n≤18时,Pn<Qn.
a3 |
a1 |
当q=-3时,a1+a2+a3=2-6+18=14<20,
这与a1+a2+a3>20矛盾,故舍去.
当q=3时,a1+a2+a3=2+6+18=26>20,故符合题意.
设数列{bn}的公差为d,由b1+b2+b3+b4=26得4b1+
4×3 |
2 |
又b1=2,解得d=3,所以bn=3n-1.
(2)Sn=
n(b1+bn) |
2 |
3 |
2 |
1 |
2 |
(3)b1,b4,b7,b3n-2组成以3d为公差的等差数列,
所以Pn=nb1+
n(n−1) |
2 |
9 |
2 |
5 |
2 |
b10,b12,b14,b2n+8组成以2d为公差的等差数列,b10=29,
所以Qn=nb10+
n(n−1) |
2 |
Pn-Qn=(
9 |
2 |
5 |
2 |
3 |
2 |
所以,对于正整数n,当n≥20时,Pn>Qn;
当n=19时,Pn=Qn;
当n≤18时,Pn<Qn.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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