题目

已知x，y，z为非负实数，且满足x+y+z=30，3x+y-z=50．求u=5x+4y+2z的最大值和最小值．

提问时间：2020-10-12

答案

将已知的两个等式联立成方程组

x+y+z＝30① 3x+y−z＝50②

，
所以①+②得，
4x+2y=80，y=40-2x．
将y=40-2x代入①可解得，
z=x-10．
因为y，z均为非负实数，
所以

40−2x≥0 x−10≥0

，
解得10≤x≤20．
于是，
u=5x+4y+2z=5x+4（40-2x）+2（x-10）
=-x+140．
当x值增大时，u的值减小；当x值减小时，u的值增大．
故当x=10时，u有最大值130；当x=20时，u有最小值120．

将x+y+z=30，3x+y-z=50联立，得到y和z的关于x的表达式，再根据y，z为非负实数，列出关于x的不等式组，求出x的取值范围，再将u转化为关于x的表达式，将x的最大值和最小值代入解析式即可得到u的最大值和最小值．

本题考点：一元一次不等式组的应用．

考点点评：此题考查了一次函数最值的求法，将y、z的转化为关于x的表达式及求出x的表达式是解题的关键．