题目

在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，以AC、BC为边分别作正△ACD、正△BCE，连结AE、BD相交于O．求证：∠AOD=60°．

提问时间：2020-10-12

答案

证明：在正△ACD、正△BCE中，AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACD+∠ACB=∠BCE+∠ACB，
∴∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△DCB中，

AC＝CD ∠ACE＝∠DCB BC＝CE

，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴∠CAE=∠CDB，
∴∠ODA+∠OAD=∠ODA+∠CAD+∠CAE，
=∠ODA+∠CDB+∠CAD，
=∠CDA+∠CAD，
=120°，
在△OAD中，∠AOD=180°-（∠ODA+∠OAD）=180°-120°=60°，
故：∠AOD=60°．

根据等边三角形的性质可得AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°，再求出∠ACE=∠DCB，然后利用“边角边”证明△ACE和△DCB全等，根据全等三角形对应角相等可得∠CAE=∠CDB，再求出∠ODA+∠OAD=120°，然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解．

本题考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．

考点点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟记等边三角形的性质并确定出全等的三角形是解题的关键．