题目

已知抛物线C1：y1=1/2x²-x+1,点F（1,1） （1）求抛物线C1的顶点的坐标.
（2）①若抛物线C1与y轴的交点为A,连接AF,并延长交抛物线C1于B,求证：1/AF+1/BF=2
②取抛物线C1上任意一点p(xp,yp)(0

提问时间：2020-10-12

答案

1∵x= -b/2a=1,4ac-b2/4a=1/2
∴顶点坐标为（1,1/2）．
2根据题意得：点A（0,1）,
∵F（1,1）,
∴AB∥x轴,得AF=BF=1,
∴ 1/AF+ 1/BF=2；
2如图,过点P（xp,yp）作PM⊥AB于点M,
则FM=1-xp,PM=1-yp,（0＜xp＜1）,
∴Rt△PMF中,由勾股定理,
得PF2=FM²+PM²=（1-xp）²+（1-yp）²,
又点P（xp,yp）在抛物线C1上,
得yp= 1/2（xp-1）²+ 1/2,即（xp-1）²=2yp-1,
∴PF²=2yp-1+（1-yp）²=yp²,
即PF=yp,
过点Q（xQ,yQ）作QN⊥AB,与AB的延长线交于点N,
同理可得：QF=yQ,
∵∠PMF=∠QNF=90°,∠MFP=∠NFQ,
∴△PMF∽△QNF,
∴ PF/QF=PM/QN,
这里PM=1-yp=1-PF,QN=yQ-1=QF-1,
∴ PF/QF=1-PF/QF-1,
即 1/PF+1/QF=2；
3令y3=x,
设其图象与抛物线C2交点的横坐标为x0,x0′,且x0＜x0′,
∵抛物线C2可以看作是抛物线y= 1/2x²左右平移得到的,
随着抛物线C2向右下不断平移,x0,x0′的值不断增大,
∴当满足2＜x≤m,y2≤x恒成立时,m的最大值在x0′处取得．
当x0=2时,所对应的x0′即为m的最大值．
将x0=2代入 1/2（x-h）²=x,
1/2（2-h）²=2,
h=4或h=0（舍去）,
∴y2= 1/2（x-4）2．
由y2=y3,得 1/2（x-4）²=x,
解得：x0=2,x0′=8,
∴m的最大值为8．