题目

1：中心在原点,一焦点F1（0,五倍根号二）的椭圆被直线Y=3X-2截得的弦的中点横坐标为1/2,求此椭圆的方程 2：设椭圆的中心是坐标原点,长轴在X轴上,离心率e=二分之根号三,已知点P（0,3/2）到椭圆上的点的最远距离为根号七,求这个椭圆方程.

提问时间：2020-10-11

答案

设椭圆：y2a2+
x2b2=1（a＞b＞0）,则a2-b2=50①
又设A（x1,y1）,B（x2,y2）,弦AB中点（x0,y0）
∵x0=12,∴y0=32-2=-12
由y21a2+
x21b2=1y22a2+
x22b2=1⇒
y21-
y22a2=-
x21-
x22b2⇒kAB=
y1-y2x1-x2=-
a2b2•
x0y0=3⇒a2=3b2②
解①,②得：a2=75,b2=25,
故椭圆的方程为：y275+
x225=1． 设椭圆方程为x2a2+
y2b2=1 (a＞b＞0),M（x,y）为椭圆上的点,由ca=
32得a=2b,
|PM|2=x2+(y-
32)2=-3(y+
12)2+4b2+3(-b≤y≤b),
若b＜
12,则当y=-b时|PM|2最大,即(-b-
32)2=7,
∴b=7-
32＞
12,故矛盾．
若b≥
12时,y=-
12时,
4b2+3=7,
b2=1,从而a2=4．
所求方程为 x24+y2=1．