题目

求解析式：
（1）已知f(

1

x

)=

x

1-x2

，求f（x）； 
（2）已知二次函数f（x）满足f（0）=0且f（x+1）=f（x）+x+1，求f（x）的表达式．

提问时间：2020-10-11

答案

（1）令

1

x

=t，则x=

1

t

，代入已知解析式可得
f（t）=

1 t

1- 1 t2

=

t

t2-1

，
∴f（x）=

x

x2-1

（2）设二次函数f（x）=ax²+bx+c，a≠0
由f（0）=0可得c=0，由f（x+1）=f（x）+x+1可得：
a（x+1）²+b（x+1）=ax²+bx+x+1
展开整理可得ax²+（2a+b）x+a+b=ax²+（b+1）x+1
比较系数可得

2a+b=b+1 a+b=1

，
解得a=

1

2

，b=

1

2

，
∴f（x）的表达式为：f（x）=

1

2

x²+

1

2

x

（1）令

1

x

=t，则x=

1

t

，代入已知解析式可得f（t），进而可得f（x）；（2）设二次函数f（x）=ax²+bx+c，a≠0由f（0）=0可得c=0，由f（x+1）=f（x）+x+1展开比较系数可得ab的方程组，解方程组可得解析式．

本题考点：函数解析式的求解及常用方法．

考点点评：本题考查函数解析式的求解，涉及换元法和待定系数法，属基础题．