题目

如图，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为2

3

，点A为弦BC所对优弧上任意一点（B，C两点除外）．

（1）求∠BAC的度数；
（2）求△ABC面积的最大值．
（参考数据：sin60°＝

3

2

，cos30°＝

3

2

，tan30°＝

3

3

．）

提问时间：2020-10-11

答案

（1）连接OB，OC，过O作OD⊥BC，可得D为BC的中点，即BD=CD=

1

2

BC=

3

，
在Rt△OBD中，OB=2，BD=

3

，
根据勾股定理得：OD=

OB2−BD2

=1，
∴OD=

1

2

OB，
∴∠OBC=30°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∴∠BOC=120°，
∵∠BAC与∠BOC都对

BC

，
∴∠BAC=

1

2

∠BOC=60°；
（2）当AB=AC，即△ABC为等边三角形时，面积最大，
此时面积为

3

4

×（2

3

）²=3

3

．

（1）连接OB，OC，过O作OD⊥BC，利用垂径定理得到D为BC的中点，求出BD的长，在直角三角形BOD中，利用勾股定理求出OD的长，得到OD等于OB的一半，利用直角三角形中直角边等于斜边的一半，可得出此直角边所对的角为30度，利用等边对等角得到一对角相等，利用三角形内角和定理求出∠BOC的度数，最后利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求出∠BAC的度数；
（2）当AB=AC，即三角形ABC为等边三角形时，面积最大，由BC的长求出最大面积即可．

本题考点：垂径定理；圆周角定理；特殊角的三角函数值．

考点点评：此题考查了垂径定理，圆周角定理，以及含30度直角三角形的性质，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．