题目

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos

A+C

2

＝

3

3

．
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）若

BA

•

BC

＝2，b＝2

2

，求a和c的值．

提问时间：2020-10-11

答案

（1）∵cos

A+C

2

=

3

3

，
∴sin

B

2

=sin（

π

2

-

A+C

2

）=

3

3

，
∴cosB=1-2sin²

B

2

=

1

3

．
（2）由

BA

•

BC

=2可得 a•c•cosB=2，又cosB=

1

3

，
故ac=6，
由 b²=a²+c²-2accosB 可得a²+c²=12，
∴（a-c）²=0，
故 a=c，
∴a=c=

6

．

（1）利用诱导公式求出sin

B

2

的值，从而利用二倍角的余弦公式求得cosB．
（2）由两个向量的数量积的定义求出ac的值，再利用余弦定理求出a和c的值．

本题考点：余弦定理；同角三角函数基本关系的运用．

考点点评：本题考查同角三角函数的基本关系，诱导公式和二倍角的余弦公式，两个向量的数量积的定义，以及余弦定理的应用．