题目

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c满足①对于任意实数,都有f（x）≥x,且当x∈（1,3）时,f（x）≤（x+2）2／8恒成立②f(-2)=0
（1）求证f（2）=2
（2）求f（x）解析式
（3）若g（x）=x+m,对于任意x∈【-2,2】存在x0∈【-2,2】,使得f（x）=g（x）成立,求实数m的取值范围

提问时间：2020-10-11

答案

1.对任意x,满足f(x)≥x,于是有f(2)≥2;
而2在区间(1,3)内,所以有f(2)≤(2+2)^/8=2
所以有f(2)=2
2.f(-2)=4a-2b+c=0,f(2)=4a+2b+c=2,两式相减,可得4b=2,b=1/2
f(5/2)=(25/4)a+(5/2)b+c=(25/4)a+c+5/4
而根据f(x)≤(x+2)^/8,可得f(5/2)≤(5/2 +2)^/8=81/32这样就有(25/4)a+c+(5/4)≤81/32
(25/4)a+c≤41/32
而通过f(-2)=4a-2b+c=0,可以得到4a+c=2b=1,c=1-4a
带入上式：
(25/4)a+c=(9/4)a+(4a+c)+5a=1+(9/4)a≤41/32
a≤1/8
又在f(3/2)处取f(3/2)≤(3/2 +2)^/8=49/32
而f(3/2)=(9/4)a+(3/2)b+c=(9/4)a+c+3/4=(-7/4a)+4a+c+3/4=(-7/4)a+1+3/4=(-7a/4)+7/4
所以有(-7a/4)+7/4≤49/32
a≥1/8
于是a=1/8,可得出c=1/2
所以f(x)=x^/8 +x/2+1/2
3.原题目的条件等价于：存在x∈[-2,2]时,方程f(x)-g(x)=0总是存在实根
而f(x)-g(x)=x^/8-x/2+(1/2 -m)
化简方程可得：x^-4x+(4-8m)=0
而设抛物线h(x)=x^-4x+(4-8m)
则问题转化为：h(x)在x∈[-2,2]的区间上必然与x轴相交
h(x)的对称轴很容易得到是x=2,顶点为(2,-8m)恰好落在区间[-2,2]的右端点,而h(x)的开口还是向上的,于是可以判定,h(x)在[-2,2]上时单调递减的,且其顶点（2,-8m)恰好落在区间的右端点上
要使此抛物线在[-2,2]上与x轴一定存在交点,那么只需顶点的函数值小于等于0,并使得f(-2)≥0即可:
顶点函数值-8m≤0,m≥0；f(-2)=16-8m≥0,m≤2
故m的取值范围是[0,2]