题目

趣味数学题1
一只猫紧紧追赶着一只老鼠.就在猫将要抓住老鼠的时候,老鼠正好跑到一个圆形的池塘旁边,纵身跳入池内,猫抓了个空.猫舍不得这顿即将到口的美餐,于是盯住老鼠,在池边跟着老鼠游泳方向跑动,想等老鼠爬上岸来时抓住它.请问猫奔跑的速度至少是老鼠游水速度多少倍,猫才能看住老鼠,使得老鼠一上岸,就被猫逮住?假设老鼠和猫都非常聪明,它们可以任意改变运动方向而不影响速度.

提问时间：2020-10-11

答案

好吧 老鼠非常聪明 猫也非常聪明.那么会出现的情况是 猫在岸边 而老鼠在池塘中央 然后老鼠背向着猫运动 因为这样最容易跑掉 当老鼠游到岸边 距离为r 猫刚好捉住它 猫的跑动距离为圆的周长的一半 pi ×r 那么 猫的速度至少是老鼠的 3.14159……倍 有人提出两种假设 1是 在中间然后背对猫跑直线 2是 在中间然后始终背对猫运动 跑的就是弧线了 我们按第二种假设来分析 由于老鼠始终背对猫运动 如果猫的速度不够 老鼠的轨迹是弧形向外的螺旋线 如果猫的速度足够大 老鼠的轨迹是个圆形 随着猫的速度增加 老鼠的轨迹是圆而且半径不断减少 如果猫的速度无限大 老鼠的轨迹相当于在圆心不动 那么 猫的速度是什么的情况下 老鼠的轨迹是圆而且半径与池塘一样呢?不难发现 猫的速度 = 老鼠的速度 时 老鼠的轨迹是圆而且半径与池塘 所以 第二种假设并不能使老鼠更容易逃脱 所以 猫的速度至少是老鼠的 π倍