题目

(aaa/aa+ab+bb)+(bbb/bb+bc+cc)+(ccc/cc+ca+aa)≥ (a+b+c)/3

提问时间：2020-10-11

答案

第一步 证明aaa/(aa+ab+bb)+bbb/(bb+bc+cc)+ccc/(cc+ca+aa)
=bbb/(aa+ab+bb)+ccc/(bb+bc+cc)+aaa/(cc+ca+aa)
第二步 证明(aaa+bbb)/(aa+ab+bb)>=1/3*(a+b)
(bbb+ccc)/(bb+bc+cc)>=1/3*(b+c)
(ccc+aaa)/(cc+ca+aa)>=1/3*(c+a)
第三步 根据前两步证明结论：
aaa/(aa+ab+bb)+bbb/(bb+bc+cc)+ccc/(cc+ca+aa)
=1/2((aaa+bbb)/(aa+ab+bb)+(bbb+ccc)/(bb+bc+cc)+(ccc+aaa)/(cc+ca+aa))
>=1/2(1/3*(a+b)+1/3*(b+c)+1/3*(c+a))
=1/3*(a+b+c)
第一步的证明：因为aaa-bbb=(a-b)(aa+ab+bb)等容易证明两式相减得0
第二步的证明：如(aaa+bbb)/(aa+ab+bb)>=1/3*(a+b)
aaa+bbb=(a+b)(aa-ab+bb)所以只需证明(aa-ab+bb)/(aa+ab+bb)>=1/3
(aa-ab+bb)/(aa+ab+bb)
=1-2ab/(aa+ab+bb)>=1-2ab/(ab+2ab)=1/3
证毕