题目

考虑由10个元素组成的集合M={19,99,-1,0,25,-36,-91,1,-2,11}.记M的所有非空子集为Mi,i=1,2,3,4,.1023.每一个Mi中所有元素的乘积为mi,i=1,2,3,.1023.求m1+m2+m3+.+m1023..

提问时间：2020-10-11

答案

构造以
{19,99,-1,0,25,-36,-91,1,-2,11}为根的10次多项式
f(x)=x(x+1)(x-1)(x+2)(x-11)(x-19)(x-25)(x+36)(x+91)(x-99)
=a10*x^10+a9*x^9+.+a1x+a0
显然a10=1
由根与系数的关系知：
m1+m2+m3+.+m1023= (-a9+a8-a7+a6-a5+a4-a3+a2-a1+a0)/a10
=-a9+a8-a7+a6-a5+a4-a3+a2-a1+a0
=a10-a9+a8-a7+a6-a5+a4-a3+a2-a1+a0-1
=f(-1)-1
=0-1
=-1