题目

已知实数 x，y 满足方程x²+y²-4x+1=0，则

y

x

的取值范围 ___ ．

提问时间：2020-10-11

答案

设

y

x

=k，即kx-y=0，
由圆方程x²+y²-4x+1=0
∴（x-2）²+y²=3得到圆心坐标为（2，0），半径r=

3

，
当直线与圆相切时，圆心到切线的距离d=r，即

|2k|

k2+1

=

3

，
解得：k=±

3

，
则的取值范围是[-

3

，+

3

]．
故答案为：[-

3

，

3

]；

整理方程可知，方程表示以点（2，0）为圆心，以

3

为半径的圆，设

y

x

=k，进而根据圆心（2，0）到y=kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值，确定出k的范围，即为所求式子的范围．

本题考点：基本不等式．

考点点评：本题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：点到直线的距离公式，直线与圆相切时满足的条件，利用了转化的思想，求出直线与圆相切时斜率的值是解本题的关键．