题目

1.证明:当N为自然数时,2(2N+1)形式的数不能表示为两个整数的平方差
2.若x+y=-1,则x^4+5yx^3+yx^2+8x^2*y^2+xy^2+5xy^3+y^4的值等于多少
3.某校在向”希望工程”捐款活动中,甲班的m个男生和11个女生的捐款总数和乙班的9个男生和n个女生的捐款总数相等,都是(mn+9m+11n+145)元,已知每人的捐款数相同,且都是整数,求每人的捐款数.

提问时间：2020-10-11

答案

1、设整数数a,b.假设2（2N+1）能表示成两个整数的平方差,则有：
a^2-b^2＝2（2N+1）＝（a+b）*（a-b）.
设正数m,2*（2N+1）＝2m*（2N+1）/m,
即a+b＝2m,a-b＝（2N+1）/m,
（a+b）+（a-b）＝2m+（2N+1）/m＝2a.
因为2N+1是一个奇数,所以当m不等于1/2时,（2m+（2N+1）/m）/2是一个小数,不成立,当m等于1/2时,2m是一个奇数,
（2m+（2N+1）/m）/2也是一个小数,不成立.
综上所述,当N为自然数时,2(2N+1)形式的数不能表示为两个整数的平方差 .
原式＝x^4+y^4+(5x^2+5y^2+8xy+x+y)xy
=x^4+y^4+((2x+2y)^2+x^2+y^2-1)xy
=x^4+y^4+(3+x^2+y^2)xy
=x^4+y^4+(3+x^2+y^2+2xy-2xy)xy
=x^4+y^4+(3+(x+y)^2-2xy)xy
=x^4+y^4+(4-2xy)xy
=x^4+y^4-2x^2y^2+4xy
=(x^2+y^2)^2+4xy
算到这里不会算了啊!好难～
设每人捐出x元.因为mx+11x＝nx+9x,所以m+2＝n.
则(mn+9m+11n+145)＝m(m+2)+9m+11(m+2)+145
＝m^2+2m+9m+11m+22+145＝m^2+22m+167＝(m+11)^2+46
＝mx+11x
则：（（m+11）^2+46）/（m+11）＝x＝m+11+46/（m+11),
又因为x为正整数,所以m只能为12或35.
当m＝12时,x＝12+11+46/（12+11）＝23+2＝25
当m＝35时,x＝35+11+46/（35+11）＝46+1＝47
答：每人捐出25或47元.