题目

已知等差数列{an}是首项a1＞1,公比q＞0的等比数列,设bn=log2(an)(n属于N+)且b1+b3+b5=6,b1*b3*b5=0
（1）求{an}的通项公式；（2）设{bn}的前项n和为Sn,当S1/1+S2/2+...+Sn/n最大时,求n的值

提问时间：2020-10-11

答案

n=log2(an)=log2(a1*q^(n-1))=(n-1)*log2(q)+log2(a1);
b1=log2(a1),b3=2*log2(q)+log2(a1),b5=4*log(q)+log2(a1)
所以{bn}是等差数列,假设公差d=log2(q),
有方程式：
b1+b3+b5=3*b1+6*d=6; ==> b1 != -2d;
b1*b3*b5=b1*(b1+2d)*(b1+4d)=0;
{bn}是等差数列,3*b1+6*d=6; b1=0或b1=-2d或b1=-4d
b1=0不满足a1>1,b1=-2d不满足3*b1+6*d=6;所以b1=-4d,得到d=-1,b1=4
因此a1=16,q=1/2,an=16*((1/2)^(n-1))=32/(2^n)
bn=4-(n-1)=5-n;
Sn=5*n-n*(n+1)/2;
Sn/n=5-(n+1)/2=(9-n)/2;
S1/1+...+Sn/n=(9*n-n(n+1)/2)/2=(17*n-n*n)/4
n=17/2也就是n=8或者9的时候取得最大值18