题目

设函数f（x）=x³+ax，g（x）=2x²+b，已知它们的图象在x=1处有相同的切线．
（Ⅰ）求函数f（x）和g（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）-m•g（x）在区间[

1

2

，3]上是单调减函数，求实数m的取值范围．

提问时间：2020-10-11

答案

（I）f'（x）=3x2+a，g'（x）=4xf(1)=g(1)f′(1)=g′(1)，1+a=2+b3+a=4∴a=1b=0∴f（x）=x3+x，g（x）=2x2（Ⅱ）∵F（x）=f（x）-mg（x）=x3+x-2mx2∴F'（x）=3x2-4mx+1若x∈[12，3]时，F（x）是减函数，则3x2-4mx+1...

（I）欲求函数f（x）和g（x）的解析式利用在点x=1处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，利用斜率相等列出等式．从而求出a，b．
（Ⅱ）由于F（x）=f（x）-mg（x）=x³+x-2mx²，求出其导数得F'（x）=3x²-4mx+1，原问题等价于3x²-4mx+1≤0在区间[

1

2

，3]上恒成立，最后利用二次函数的图象与性质解决即得．

本题考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本小题主要考查函数解析式的求解及待定系数法、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．