题目

如图,D,E分别是△ABC的边BC和AB上的点,△ABD与△ACD的周长相等,△CAE与△CBD的周周长相等.
设BC=a,AC=b,AB=c.
（1）求AE和BD的长；
（2）若∠BAC=90°,△ABC的面积为S,求证：S=AE·BD

提问时间：2020-10-11

答案

分析：（1）根据,△ABD与△ACD的周长相等,我们可得出：AB+BD=AC+CD,等式的左右边正好是三角形ABC周长的一半,即(a+b+c)/2,有AB,AC的值,那么就能求出BD的长了,同理可求出AE的长；
（2）根据（1）中求出的AE,BD的值,先求出AE•BD是多少,在化简过程中,可以利用一些已知条件比如勾股定理等,来使化简的结果和三角形ABC的面积得出的结果相同．
∵△ABD与△ACD的周长相等,BC=a,AC=b,AB=c,
∴AB+BD=AC+CD=(a+b+c)/2．
∴BD=(a+b+c)/2-c=(a+b-c)/2,
同理AE=(a-b+c)/2；
（2）证明：∵∠BAC=90°,
∴c²+b²=a²,S=bc/2,
由（1）知AE•BD=[(a-b+c)/2]×[(a+b-c)/2]=[a²-(b-c)²]/4=(a²-b²-c²+2bc)/4=bc/2,
即S=AE•BD