题目

已知圆C经过A(3,2)B(1,6)两点,且圆心在直线y=2x上.
1.求圆C方程
2.若直线l经过点P(-1,3),且与圆C相切,求直线l的方程

提问时间：2020-10-11

答案

直线AB的斜率 = (6-2)/(1-3) = -2 ,∵圆C经过A(3,2)B(1,6)两点 ,∴圆心到这两点的距离相等(均为半径) ,∴圆心在线段AB的垂直平分线上 ,而AB的垂直平分线的斜率 = (-1)/(Kab) = (-1)/(-2) = 1/2 ,又易求得AB的中点为(2 ,4),∴根据点斜式求得AB的垂直平分线的方程为：x - 2y + 6 = 0 ,即圆心在x - 2y + 6 = 0上,又根据题干可知 ,圆心在直线y=2x上 ,∴圆心就是这两条直线的交点 ,易求得圆心为：(2 ,4),结合A、B的坐标易求得圆的半径的平方 = 5 ,∴圆C的方程为：(x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 5 .设直线L的斜率为k ,则根据点斜式 ,L的方程可表示为：y - 3 = k(x + 1) ,即：kx - y + k + 3 = 0 ,∵L与圆相切 ,∴圆心到L的距离 = 圆的半径 ,即圆心到L的距离的平方 = 圆的半径的平方 ,根据点到直线的距离公式可得：(2k - 4 + k + 3)^2/(k^2 + 1) = 5 ,整理得：5k^2 + 5 = (3k - 1)^2 = 9k^2 - 6k + 1 ,即：2k^2 - 3k - 2 = 0 ,解得k = -1/2 或 2 ,∴L的方程为：x + 2y - 5 = 0 或 2x - y + 5 = 0