题目

如图，等边三角形ABD和等边三角形CBD的边长均为a，现把它们拼合起来，E是AD上异于A、D两点的一动点，F是CD上一动点，满足AE+CF=a．则△BEF的形状如何？

提问时间：2020-10-11

答案

△BEF为正三角形
证明：∵AE+CF=a，AE+ED=a，
∴DE=CF，
在△BDE和△BCF中，

BD＝BC ∠BCF＝∠BDE＝60° DE＝CF

，
∴△BDE≌△BCF，
∴BE=BF，∠CBF=∠DBE，
又∵∠CBF+∠FBD=60°，
∴∠FBD+∠DBE=60°，
∴△BEF为等边三角形．

根据等边三角形各边长相等和内角为60°的性质，可以求得△BDE≌△BCF，即可求得∠FBD+∠DBE=60°，根据一个内角为60°的等腰三角形可以判定为等边三角形，即可解题．

本题考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了全等三角形的证明和全等三角形对应边、对应角相等的性质，考查了等边三角形的判定，本题中求证△BDE≌△BCF是解题的关键．