题目

已知抛物线x2＝4y的焦点为F,A．B是曲线上两动点,且向量AF＝λ向量FB（λ＞0）．过A．B两点分别做抛物线的切线．设其交点为M
1）若同时点P满足PA=λPB,求点P的纵坐标
就这一小题

提问时间：2020-10-11

答案

抛物线x^2＝4y的焦点F（0,1）
设AB方程为y=kx+1,代入x^2=4y
得：x^2=4(kx+1)
即x^2-4kx-4=0
设A(x1,y1),B(x2,y2)
那么x1+x2=4k,x1x2=-4
向量AF＝λ向量FB（λ＞0)
∴（-x1,1-y1)=λ(-x2,1-y2)
∴x1=λx2
对y=1/4*x^2求导
y'=1/2*x
∴曲线在A处切线方程为
y=1/2x1(x-x1)+x²1/4
曲线在B处切线方程为
y=1/2x2(x-x2)+x²2/4
两式相减：
1/2(x1-x2)x-1/4(x²1-x²2)=0
∵x1≠x2
∴x=（x1+x2)/2
y= 1/4*x1(x2-x1)+x²1/4
=1/4*x1x2
=-1
即两条切线交点纵坐标为-1