题目

不等式难题 abc=1,a,b,c∈R正.证明a³＋b³＋c³＋6≥（a+b+c）²
做出了麻烦给道相似类型和难度的题
有没有高一搞的懂的方法啊？

提问时间：2020-10-11

答案

证明：∵a·b·c=1,且a、b、c∈R+（正实数）
∴a³＋b³＋c³－3abc
＝[(a＋b＋c)³－3a²b－3ab²－3b²c－3bc²－3c²a－3ca²－6abc]－3abc
＝(a＋b＋c)³－3(a²b＋ab²＋b²c＋bc²＋c²a＋ca²＋3abc)
＝(a＋b＋c)³－3(a＋b＋c)(ab＋bc＋ca)
＝(a＋b＋c)[(a＋b＋c)²－3(ab＋bc＋ca)]
＝(a＋b＋c)[(a²＋b²＋c²＋2ab＋2bc＋2ca)－3(ab＋bc＋ca)]
＝(a＋b＋c)(a²＋b²＋c²－ab－bc－ca)
＝1/2 (a＋b＋c)[(a－b)²＋(b－c)²＋(c－a)²]≥0
则a³＋b³＋c³－3abc＝a³＋b³＋c³－3≥0,即a³＋b³＋c³≥3；
∴a³＋b³＋c³＋6≥9.
又∵(a＋b＋c)²≤3(a²＋b²＋c²),当且仅当a＝b＝c＝1时取等号,即(a＋b＋c)²最大值为9；
∴a³＋b³＋c³＋6≥(a＋b＋c)².
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