题目
已知函数f(x)=x3-3x,若过点A(1,m)(m≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线,则实数m的取值范围为______.
提问时间:2020-10-11
答案
设切点为(a,a3-3a),∵f(x)=x3-3x,∴f'(x)=3x2-3,∴切线的斜率k=f′(a)=3a2-3,由点斜式可得切线方程为y-(a3-3a)=(3a2-3)(x-a),∵切线过点A(1,m),∴m-(a3-3a)=(3a2-3)(1-a),即2a3-3a2=...
设切点为(a,a3-3a),利用导数的几何意义,求得切线的斜率k=f′(a),利用点斜式写出切线方程,将点A代入切线方程,可得关于a的方程有三个不同的解,利用参变量分离可得2a3-3a2=-3-m,令g(x)=2x3-3x2,利用导数求出g(x)的单调性和极值,则根据y=g(x)与y=-3-m有三个不同的交点,即可得到m的取值范围.
利用导数研究曲线上某点切线方程.
本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程.导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率,解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上.运用了转化的数学思想方法,对能力要求较高.属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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