题目

高中圆锥曲线练习
6.设椭圆（x²/a²）+（y²/b²）＝1(a＞b＞0)的离心率为e＝√2/2
（1.）椭圆的左右焦点分别为F1、F2,A是椭圆上的一点,且A到此两焦点的距离之和为4,求椭圆的方程.
（2.）求b为何值时,过圆x²+y²＝t²上一点M（2,√2）处的切线交椭圆于Q1、Q2两点,而且OQ1⊥OQ2.

提问时间：2020-10-11

答案

(1)由e＝√2/2可得到a^2 = 2·b^2
2a = 4
那么a和b就求出来了
(2)易得过圆x²+y²＝t²上一点M（2,√2）处的切线方程为y = -√2x + 3√2
把直线方程代入椭圆x²+ 2y²＝ 2b²并化为一个关于x的一元二次方程（只含有字母b）,我算了一下应该是5x² - 24x + 36 - 2b² = 0 ①
那么设Q1(x1,y1),Q2(x2,y2),由题目垂直条件得
x1x2 + y1y2 = 0
将y1和y2用直线方程可以分别被x1和x2表示,整理后得到一个关于x1和x2的二元二次方程,里面的x1+x2、x1x2分别可由①式的韦达定理表示出来,结果必然是b的方程.这样就解出了b.
方法是这样,实际算起来有根号什么的电脑打着太麻烦了.
这是最典型的直线与圆锥曲线相交的问题,思路基本上一样：将直线代入曲线方程,得到两交点横坐标（或纵坐标）满足的一元二次方程,再根据对焦点的限制,通过韦达定理换入,求出未知常量.