题目

在抛物线y²=4x上求一点P，使得点P到直线y=x+3的距离最短．

提问时间：2020-10-11

答案

该命题可转化为求一条平行于y=x+3的直线y=x+b与抛物线y²=4x相切，
求出切点，此时点P到直线y=x+3的距离最短，
联立方程

y＝x+b y2＝4x

得x²+（2b-4）x+b²=0
令△=0，即（2b-4）²-4b²=0，∴b=1
故x=1，y=2，P为（1，2）
∴抛物线y²=4x上一点P（1，2），使得点P到直线y=x+3的距离最短．

先设出与直线平行且与抛物线相切的直线y=x+b，与抛物线联立消去x，根据判别式等于0求得b，则切线方程可得，进而与抛物线方程联立求得切点的坐标，进而根据点到直线的距离求得答案．

本题考点：点到直线的距离公式．

考点点评：本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生数形结合和转化与化归的思想．