题目

已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，F为棱BB₁的中点，M为线段AC₁的中点．
求证：

（Ⅰ）直线MF∥平面ABCD；
（Ⅱ）平面AFC₁⊥平面ACC₁A₁．

提问时间：2020-10-10

答案

（本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）延长C₁F交CB的延长线于点N，连接AN．因为F是BB₁的中点，
所以，F为C₁N的中点，B为CN的中点．又M是线段AC₁的中点，
故MF∥AN．又MF不在平面ABCD内，AN⊂平面ABCD，∴MF∥平面ABCD．
（Ⅱ）连BD，由直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁ ，
可知A₁A⊥平面ABCD，又∵BD⊂平面ABCD，∴A₁A⊥BD．
∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD．又∵AC∩A₁A=A，
AC，A₁A⊂平面ACC₁A₁，∴BD⊥平面ACC₁A₁．
在四边形DANB中，DA∥BN且DA=BN，所以四边形DANB为平行四边形，
故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC₁A₁，又因为NA⊂平面AFC₁，
∴平面AFC₁⊥ACC₁A₁．