题目

dv/dt=-kvt-g 怎么积分

提问时间：2020-10-10

答案

先求出非齐次方程的一个特解,再加上齐次方程通解.
对于齐次方程dv/dt=-kvt
变为dv/v=-ktdt
通解为v=Ce^(-1/2kt²) (C为常数)
采用常数变易法求非齐次方程特解,设特解为v0=u(t)e^(-1/2kt²)
带入原方程有
u'(t)e^(-1/2kt²)+u(t)(-kt)e^(-1/2kt²)=-ktu(t)e^(-1/2kt²)-g
即u'(t)e^(-1/2kt²)=-g
则u'(t)=-ge^(1/2kt²)
u(t)=-g∫e^(1/2kt²)dt
其中类似∫e^(1/2kt²)dt无法写成初等函数形式可保留.则通解为
v=Ce^(-1/2kt²)-ge^(-1/2kt²)∫e^(1/2kt²)dt