题目

已知函数f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）若直线l过点（0，-1），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的方程；
（Ⅲ）设函数g（x）=f（x）-a（x-1），其中a∈R，求函数g（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e为自然对数的底数）

提问时间：2020-10-10

答案

（Ⅰ）f'（x）=lnx+1，x＞0，…（2分）由f'（x）=0得x＝1e，…（3分）所以，f（x）在区间(0，1e)上单调递减，在区间(1e，+∞)上单调递增．…（4分）所以，x＝1e是函数f（x）的极小值点，极大值点不存在．…（5分）（...

（I）先对函数求导，研究函数的单调区间，根据F′（x）＞0求得的区间是单调增区间，F′（x）＜0求得的区间是单调减区间，求出极值．
（II）求出曲线方程的导函数，利用导函数中即可求出切线方程的斜率，根据求出的斜率和已知点的坐标写出切线方程即可；
（III）求导：g'（x）=lnx+1-a解g'（x）=0，得x=e^a-1，得出在区间（0，e^a-1）上，g（x）为递减函数，在区间（e^a-1，+∞）上，g（x）为递增函数，下面对a进行讨论：当e^a-1≤1，当1＜e^a-1＜e，当e^a-1≥e，从而得出g（x）的最小值．

本题考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评：本题考查了导数的应用：利用导数判断函数的单调性及求单调区间；函数在区间上的最值的求解，其一般步骤是：先求极值，比较函数在区间内所有极值与端点函数．若函数在区间上有唯一的极大（小）值，则该极值就是相应的最大（小）值．