题目

微分的几个意义是.

提问时间：2020-10-10

答案

几何意义
设Δx是曲线y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量,Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量,dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量.当|Δx|很小时,|Δy－dy|比|Δy|要小得多(高阶无穷小),因此在点M附近,我们可以用切线段来近似代替曲线段.
代数意义
一元函数f的在定义域中一个元素x_1之处的导数的几何意义就是函数f所对应的图像Graph（f）(它是一条曲线)在点（x_1,f(x_1)）∈Graph（f）处的切线的斜率.微分是一个无穷小量而不是数,一般情况下,它是没有几何意义的-----除非把它推广为“函数的外微分形式”（exterior differential forms of a function）；推广后的外微分是从定义域的切向量丛到实数集的切向量丛的一个逐纤维地（fiberwisely）为线性同态的映射.不过你可以把普通的微分理解为一个无穷序列,序列的每一个坐标是一个有向线段.比如dx可以理解为在点x处（先把这个x固定）向右发出的一组有向线段,每个有向线段的起点为点x,终点是变化的,但这个变化是“有方向的”,也就是说作为有向线段的第二个坐标的“模长”要比第一个坐标的“模长”要小一半,第三个的模长又比第二个的小了一半,以此类推.这个无限序列的极限是一个零向量（也就是x自己指向自己的这个向量）.要注意这些有向线段可以被看成是向量,但它们都不是“自由向量”（高中教材：自由向量指的是起点可以被任意移动（平移）的向量）,因为它们的起点都被固定死了,就是x.