题目
求由直线r=√2sinθ与r^2=cos2θ所围成的图形的公共部分的面积.
提问时间:2020-10-10
答案
首先,r=√2sinθ表示圆,圆心在点(√2/2,pi/2)处,半径为√2/2.如果一定要是直线的话,应该是rsinθ=√2.r^2=cos2θ,表示双纽线,极角θ范围是[-pi,-3pi/4],[-pi/4,pi/4],[3pi/4,pi].但注意到,事实上这两条曲线是不交的.所以,我推测,题中仍然是圆r=√2sinθ.联立两方程,求得交点:(√2/2,pi/6),(√2/2,5pi/6).定积分计算,被积表达式为1/2*(r(θ)^2)dθ,其中当θ在[0,pi/6]以及[5pi/6,pi]内时,r=r(θ)=√2sinθ;当θ在[pi/6,pi/4]以及[3pi/4,5pi/6]内时,r=r(θ)=√ (cos2θ).积分区间[0,pi/4]和[3pi/4,pi].由于图形对称性,仅计算第一象限面积即可.简单的计算告诉我们,所围成图形在第一象限面积为pi/12+(1-√3)/4,所以所求图形面积为pi/6+(1-√3)/2.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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