题目

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCd是∠DAB=60°且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD．

（1）若G为AD的中点，求证：BG⊥平面PAD；
（2）求证：AD⊥PB；
（3）求二面角A-BC-P的大小．

提问时间：2020-10-10

答案

（1）证明：∵△ABD为等边三角形且G为AD的中点，
∴BG⊥AD
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BG⊥平面PAD
（2）证明：∵△PAD是等边三角形且G为AD的中点，
∴AD⊥PG
∵AD⊥BG，PG∩BG=G，
∴AD⊥平面PBG，PB⊂平面PBG，
∴AD⊥PB；
（3）∵AD⊥PB，AD∥BC，∴BC⊥PB，
∵BG⊥AD，AD∥BC，
∴BG⊥BC，
∴∠PBG是二面角A-BC-P的平面角，
在直角△PBG中，PG=BG，∴∠PBG=45°，
∴二面角A-BC-P的平面角是45°．