题目

函数f（x）=

ax+b

1+x2

是定义在（-1，1）上的奇函数，且f（

1

2

）=2．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）用定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数；
（3）解不等式f（t-1）+f（t）<0．

提问时间：2020-10-10

答案

（1）由题意得，

f(0)= b 1 =0 f( 1 2 )= 1 2 a+b 1+ 1 4 =2

解得，a=5，b=0．
∴f（x）=

5x

1+x2

．
（2）证明：任取x₁、x₂∈（-1，1），且x₁<x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=

5x1

1+ x 2 1

-

5x2

1+ x 2 2

=

5(x1-x2)(1-x1x2)

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

，
∵-1<x₁<x₂<1，
∴（1+

x

2 1

）（1+

x

2 2

）>0；x₁-x₂<0；1-x₁•x₂>0；
∴f（x₁）-f（x₂）<0
∴f（x）在（-1，1）上是增函数．
（3）∵f（t-1）+f（t）<0，
∴f（t-1）<-f（t），
即f（t-1）<f（-t），
则

-1<t-1<1 -1<-t<1 t-1<-t

解得，0<t<

1

2

．

（1）奇函数有f（0）=0，（2）取值，作差，化简，判号，下结论五步；（3）利用函数的单调性解答．

本题考点：函数单调性的性质；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明．

考点点评：本题综合考查了函数的性质，包括了奇偶性，单调性的应用与证明，属于基础题．