题目

求l-2001的所有自然数中，有多少个整数x使2^x与x²被7除余数相同？

提问时间：2020-10-09

答案

首先看2^x÷7的余数、x²÷7的余数与x的关系：

x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21
2x÷7的余数	2	4	1	2	4	1	2	4	1	2	4	1	2	4	1	2	4	1	2	4	1
x2÷7的余数	1	4	2	2	4	1	0	1	4	2	2	4	1	0	1	4	2	2	4	1	0

可见，2^x÷7的余数3个一循环，x²÷7的余数7个一循环，所以，3和7的最小公倍数为21，2001÷21=95…6，每21个数中，余数相同的有6个，前6个中余数相同的有4个，所以，共有95×6+4=574（个）．
答：有574个整数x使2^x与x²被7除余数相同．