题目

一个与排列组合有关的概率问题
开始时令点M位于一维坐标系的0点,每一步向左或向右移动1,向左或向右的概率均为0.5.当M位于-1时停止,并记总移动步数为m.
用含n的代数式表示P(m=n) （n为正奇数）

提问时间：2020-10-09

答案

设n=2k+1,则P(m=n) = C(2k,k) * (1/2)^(2k+1) * 1/(k+1),其中C(n,m)代表n个数里取m个的不同组合个数.


求出C(2k,k) * (1/2)^(2k+1)是错误的,因为这个求解只是套了个二项式公式,而没有考虑到M直到最后一步前,向来位于x轴右侧这个重要的限制条件.


这是概率论里的一个著名问题,叫做Bertrand票选问题（英文专业名词为Bertrand's Ballot Theorem）,大意是说：两个候选人A和B,最终分别获得p张和q张选票（设p>=q）,则在唱票过程中A票数一直不落后于B的概率会是多少.网上有些资料可以参考,尤其是英文相关资料很多.


楼主的问题相当于Bertrand票选问题.就是说：在随机游走的过程中,是向右走的步数一直不小于向左走的步数,直到最后一步金身告破.





在2k步时位于原点的走法是C(2k,k),而我们要求的一直>=0的走法数目.大致的思路是翻折,如上图所示,如果之前已经金身不保,把后面的走法统统对调,向左走变向右走,向右走变向左走.则走法为C(2k,k-1)种,则金身不破的走法有C(2k,k)-C(2k,k-1)=C(2k,k)*(1-k/(k+1))=C(2k,k)*(1/(k+1))种.