题目

已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),且a,b满足关系|ka+b|=√3|a-kb|（k为正实数）.
（1）求证：（a+b）⊥（a-b）
（2）求将a与b的数量积用k表示的解析式f（k）,求出f（k）；
（3）求函数f（k）的最小值及取得最小值时a与b的夹角θ.

提问时间：2020-10-09

答案

(1)∵a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)
∴ |a|=√(cos²α+sin²α)=1
|b|=√(cos²β+sin²β)=1
∴ (a+b).(a-b)=a²-b²=1-1=0
∴ （a+b）⊥（a-b）
(2)∵a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)
∴ a.b=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β),|a|=|b|=1
又 |ka+b|=√3|a-kb|
∴ |ka|²+|b|²+2ka.b=3(|a|²+|kb|²-2ka.b)
∴ k²+1+2kcos(α-β)=3[1+k²-2k(cosα-β)]
∴ 2k²-8kcos(α-β)+2=0
∴ cos(α-β)=(k²+1)/(4k)
即f(k)=(k²+1)/(4k)
(3) f(k)=(k+1/k)/4≥2*√[k*(1/k)]/4=1/2
当且仅当k=1时等号成立
此时cos(α-β)=1/2
∴ a与b的夹角θ是60°