题目

为什么50个人生日相同的概率为78%?怎么算出来的?
谢谢!

提问时间：2020-10-09

答案

应该是 97% !你们的咸鱼老师记错了!你可能更惊讶了吧?
你还是初中生,没关系.我们不用高中的运算也能解决,不过说起来麻烦点：
要直接计算N人中有至少2人生日相同比较困难.我们就先算出全部不同的概率.然后用 100% 减去它就是至少有2人相同的概率了是吗?
如果只有一个人,由于不存在与之共享生日的人,因此没人生日相同的概率为 366/366 = 1 .（我们算它一年有366天,算足它）
第二个人进来.因为有 366 个可能的生日,而365天都不同.所以此人与第一个人生日不同的概率为 365 / 366 或 0.997.
第三个人进来,已经有两个生日被占用了,因此第三个人与他们两个生日均不相同的概率为 364 / 366,算上前面的,这三个人生日各不相同的概率为 366 /366 * 365 / 366 * 364 / 366 = 0.992 .
我们可以看出规律了,继续计算人数为任意值时生日各不相同的概率：
366 /366 * 365 / 366 * 364 / 366 * 363 / 366 * 362 / 366 ...
情况随人数的增加而迅速变化.当房间中有 23 个人时,存在共用生日的概率已略大于 50%,当人数达到 41 人时,此概率超过 90%.
当达到 50 人时大家生日各不相同的概率是：
366 /366 * 365 / 366 * 364 / 366 * 363 / 366 * 362 / 366 ...* 317 / 366 = 0.03 = 3%
所以有人生日相同的概率就是 100% - 3% = 97%
怎么样?我说清楚了吗?如果什么地方不清楚可以在问题中补充.我会来看的.
另外如果以后有人告诉你如果23人中多半会有人生日相同你就不会吃惊了 :)
从这里还可以领悟到一个信息.凡是一串数字按一定规律相乘的（而不是相加）.这种叫做“几何级数”（相加的叫‘算术级数’）.其结果往往会出乎意料.比如你一定听说过国际象棋发明者和那皇帝的故事吧?在第一格里放1粒米,第二格里放2粒米,如果第三格里放3粒米那么就是算术级数没什么了,第64格就是64粒米而已.但如果在第三格里放4粒米,第四格里放8粒米,按此规律下去就不得了啦!到第64格的米可以在整个地球铺上好几米厚!这就是几何级数的力量.对此有兴趣的话我再出个类似的题你算一算：一张假设足够大的 0.05 毫米的纸张让你对折.对折20次后这叠纸有多厚?先猜猜,再计算：）