题目

已知直线y=kx与曲线y=lnx有公共点，则k的最大值为______．

提问时间：2020-10-09

答案

若k≤0，则满足条件，
当k＞0，直线y=kx与y=lnx相切时，此时k取得最大值．
设切点为（a，b），
则函数的导数为f′（x）=

1

x

，
即切线斜率k=f′（a）=

1

a

，
则切线方程为y-b=

1

a

（x-a）=

1

a

x-1，
即y=

1

a

x+b-1=

1

a

x+lna-1，
∵y=kx是切线，
∴

k＝ 1 a lna−1＝0

，解得a=e，k=

1

e

，
若直线y=kx与曲线y=lnx有公共点，
则k≤

1

e

，
即k的最大值为

1

e

，
故答案为：

1

e

根据导数的几何意义，即可求出k的最大值．

本题考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评：本题主要考查方程交点的应用，根据导数的几何意义转化为求函数的切线斜率是解决本题的关键．